6-7-1  描画形状が〇、一部が〇、∞のようなもの

 6-7-1-1 Bacon

        【 投影式 】F = [ ( π / 2) ² / | λ - λ₀ | + | λ - λ₀ | ] / 2

y = R ( π / 2 ) sinφ

 x = ±R [ | λ - λ₀ | - F + (F² - y² / R2)^1/2]

 ± の符号は ( λ - λ₀ ) を用いる

 もし  λ = λ₀ , x = 0．

         【経度･緯度】  経線：曲線　、緯線：直線

        【 ポイント 】・極は点にならず、平となる。

                                          ・投影中心から±90°の経線は、円弧となります。

[図 6-7-1-1] Bacon 図法 ( Bacon Projection )

   【地図主点(中心)】東経 135ﾟ､緯度 0ﾟ 【経度間隔】15ﾟ 【緯度間隔】10ﾟ

     【備考】中心経度の±90ﾟで描画すると半球となる。それを Bacon Globular 図法という。

  6-7-1-2 Bacon Globular

　　　　　　Bacon の一部を円(半球)として切り出し、さらに並列に並べ全球とした。

[図 6-7-1-2]  Bacon Globular 図法 ( Bacon Globular Projection )

【地図主点(中心)】東経 135ﾟ､緯度 0ﾟ    【経度間隔】15ﾟ 【緯度間隔】10ﾟ

[図 6-7-1-2]  Bacon Globular 図法 - 半球並列 ( Bacon Globular Projection )

【地図主点(中心)】左半球：東経 135ﾟ､緯度 0ﾟ 右半球：西経45ﾟ､緯度 0ﾟ

                         【経度間隔】15ﾟ 【緯度間隔】10ﾟ

  6-7-1-3 Apian I

         【 投影式 】y = Rφ

 F = [ ( π / 2 )² / | λ - λ₀ | + | λ - λ₀ | ] / 2

 x = ± R [ | λ - λ₀ | - F + ( F² - y² / R² )^1/2 ]

 ± の符号は ( λ - λ₀ ) を用いる

 もし  λ = λ₀  ,  x = 0．

         【経度･緯度】  経線：曲線　、緯線：直線

        【 ポイント 】・極は点にならず、平となる。

                                         ・投影中心から±90°の経線は、円弧となります。

[図 6-7-1-3]  Apian I 図法 ( Apian I Projection )

   【地図主点(中心)】東経 135ﾟ､緯度 0ﾟ 【経度間隔】15ﾟ 【緯度間隔】10ﾟ

     【備考】中心経度の±90ﾟで描画すると半球となる。それを Apian Globular I 図法という。

  6-7-1-4 Apian Ⅰ Globular

　　　　　Apian I の一部を円(半球)として切り出し、さらに並列に並べ全球とした

[図 6-7-1-4]  Apian ⅠGlobular 図法 ( Apian Globular I Projection )

【地図主点(中心)】東経 135ﾟ､緯度 0ﾟ  【経度間隔】15ﾟ 【緯度間隔】10ﾟ

[図 6-7-1-4]  Apian ⅠGlobular 図法 - 半球並列 ( Apian Globular I Projection )

【地図主点(中心)】左半球：東経 135ﾟ､緯度 0ﾟ 右半球：西経45ﾟ､緯度 0ﾟ

                          【経度間隔】15ﾟ 【緯度間隔】10ﾟ

  6-7-1-5 Fournier Ⅰ

         【 投影式 】もし (λ - λ₀) = 0 , または |φ| = π /2 , x = 0 , y = Rφ

 もしφ = 0,  x = R( λ - λ₀) , y = 0

 もし | λ - λ₀| = π / 2,

 x = R ( λ - λ₀) cosφ

 y = R (π / 2) sinφ

 C = π² / 4

 P = | π sin φ |

 S = (C - φ²) / (P - 2| φ | )

 A = ( λ - λ₀)² / C - 1

 y = ±R ({ S² - A [ C- PS- ( λ - λ₀)²]}^1/2 - S ) / A

 符号は φ

 x = ±R ( λ - λ₀)[ 1 - y² / R² C )]^1/2

  ※参考文献では『符号は (λ - λ₀)』とあるが、

 投影式内部に (λ - λ₀) があるため記入式には

 符号を付与しなかった。

         【経度･緯度】  経線：曲線　、緯線：曲線

        【 ポイント 】・投影中心から±90°の経線は、円弧となります。

[図 6-7-1-5]  Fournier I 図法 ( Fournier I Projection )

【地図主点(中心)】東経 135ﾟ､緯度 0ﾟ 【経度間隔】15ﾟ 【緯度間隔】10ﾟ

【備考】中心経度の±90ﾟで描画すると半球となる。それを Fournier I Globular 図法という。

  6-7-1-6 Fournier Ⅰ  Globular

[図 6-7-1-6]  Fournier I Globular 図法

                         ( Fournier Globular I Projection ) in Two Hemispheres

【地図主点(中心)】東経 135ﾟ､緯度 0ﾟ  【経度間隔】15ﾟ 【緯度間隔】10ﾟ

[図 6-7-1-6]  Fournier I Globular 図法 半球並列

                         ( Fournier Globular I Projection ) in Two Hemispheres

【地図主点(中心)】左半球：東経 135ﾟ､緯度 0ﾟ 右半球：西経45ﾟ､緯度 0ﾟ

                         【経度間隔】15ﾟ 【緯度間隔】10ﾟ

  6-7-1-7 Nicolosi Globular

        【 投影式 】もし  (λ - λ₀) = 0  または  | φ | = π / 2

                                      x = 0　, y = Rφ

 もし  φ = 0 

 x = R (λ - λ₀) , y = 0

 もし | λ - λ0| = π/2

 x = R (λ - λ₀₎ cosφ, y = R (π / 2) sinφ

 それ以外の場合は、

 b = π / [ 2 (λ - λ₀)] – 2 (λ - λ₀) / π

 c = 2 φ / π

 d = (1- c²) / (sinφ- c )

 M = [b (sinφ) / d - b/ 2] / (1 + b²/ d²)

 N = [d² (sin φ) / b² + d/ 2] / (1 + d² / b²)

 x = (π R/2){M ± [M² + cos² φ/ (1 + b² /d²)]^1/2}

                                                                                符号は (λ - λ₀)

 y = (πR/2){N ± [N² - ( d²(sin²φ) / b² +

 d sin φ- 1) / (1+ d² / b² )]^1/2}

                                                              符号はφの逆

         【経度･緯度】  経線：曲線　、緯線：曲線

         【 ポイント 】・±90°の外付近が特に歪みます。

                      ・投影中心から±90°の経線は、円弧となります。

[図 6-7-1-7]  Nicolosi Globular 図法  ( Nicolosi Globular Projection )

                        通常は半球描画ですが、ここでは歪部分を含む全球描画

【地図主点(中心)】東経 135ﾟ､緯度 0ﾟ 【経度間隔】15ﾟ 【緯度間隔】10ﾟ

[図 6-7-1-7]  Nicolosi Globular 図法  ( Nicolosi Globular Projection )

【地図主点(中心)】東経 135ﾟ､緯度 0ﾟ  【経度間隔】15ﾟ 【緯度間隔】10ﾟ

[図 6-7-1-7]  Nicolosi Globular 図法 - 半球並列 ( Nicolosi Globular Projection )

【地図主点(中心)】左半球：東経 135ﾟ､緯度 0ﾟ 右半球：西経45ﾟ､緯度 0ﾟ

                         【経度間隔】15ﾟ 【緯度間隔】10ﾟ

  6-7-1-8 Lagrange

         【 投影式 】もし  |φ| = π / 2

                                             x = 0 , y = ±2R , 符号はφ

 A₁ = [ ( 1 + sin φ₁) / ( 1 - sin φ₁) ]^{1/(2 W)}

 A = [ (1 + sin φ) / ( 1- sin φ) ]^1/(2W)

 V = A / A₁

 C = ( V + 1/V ) / 2 + cos [ (π - π₀ ) / W]

      x = 2R sin [ ( λ - λ₀ ) / W] / C

      y = R (V - 1/V) / C

         【経度･緯度】  経線：曲線　、緯線：曲線

        【 ポイント 】・W =1,φ₁ =0 にすると Stereographic Projection なる

[図 6-7-1-8]  Lagrange 図法 ( Lagrange Projection )

【地図主点(中心)】東経 135ﾟ､緯度 0ﾟ 【経度間隔】15ﾟ 【緯度間隔】10ﾟ

  6-7-1-9 Vander Grinten Ⅰ

         【 投影式 】もし  φ = 0   ,  x = R (λ - λ₀ )  ,  y = 0

 もし  |φ| = π/2 , x = 0  , y = ± π R

                      符号はφに同じ

 B = | 2φ / π |  , C = (1- B² )^1/2

 もし  ( λ - λ₀ ) = 0  , x = 0  ,  y = ±π RB / ( 1 + C )

 符号はφに同じ

 A = | π / ( λ - λ₀) - ( λ - λ₀) / π | / 2

 G = C / ( B + C - 1)

 P = G (2 / B - 1)

 Q = A² + G

 S = P² + A²

 T = G - P²

 x = ± π R{AT + [A²T²- S(G²- P²)]^1/2} / S

 符号は(π - π₀)

 y = ± π R{PQ -A [(A² + l )S- Q² ]^1/2} / S

 符号はφ

       【経度･緯度】  経線：曲線　、緯線：曲線

       【 ポイント 】・外周は、円となる。

                      ・経線の高緯度(±89～90°)は緯度ピッチを細かくしないと

                       円弧になりません。

                       (6-7-8 Lagrange の図を参照してください)

[図 6-7-1-9]  Van der Grinten I  図法 ( Van der Grinten I Projection )

【地図主点(中心)】東経 135ﾟ､緯度 0ﾟ 【経度間隔】15ﾟ 【緯度間隔】10ﾟ

  6-7-1-10 Vander Grinten Ⅱ

        【 投影式 】A = | π / ( λ - λ₀) - ( λ - λ₀) / π | / 2

  B = | 2φ / π |

   C = (1- B² )^1/2

 もし (λ - λ₀) = 0

 x = 0

 y = ± π R B / ( 1 + C )  ←符号はφに同じ

 それ以外は

 x₁ = [ C (1+A²)^1/2-A C²] / (1+A²B²)

 x = ± π R x₁     ←符号は(π - π₀)

 y = ± π R (1 - x₁²-2 A x₁)^1/2    ←符号はφに同じ

         【経度･緯度】  経線：曲線　、緯線：曲線

         【 ポイント 】・外周は、円となる。

                       ・経線の高緯度(±89～90°)は緯度ピッチを細かくしないと

円弧になりません。

[図 6-7-1-10]  Van der Grinten Ⅱ 図法 ( Van der Grinten Ⅱ Projection )

【地図主点(中心)】東経 135ﾟ､緯度 0ﾟ 【経度間隔】15ﾟ 【緯度間隔】10ﾟ

  6-7-1-11 Van der Grinten Ⅲ

         【 投影式 】 A = | π / ( λ - λ₀) - ( λ - λ₀) / π | / 2

 B = | 2φ / π |

 C = (1- B² )^1/2

 もし  φ = 0

  x = R (λ - λ₀ )

 y = 0

 もし  ( λ - λ₀ ) = 0

 x = 0

 y = ± π R B / ( 1 + C )  ←符号はφに同じ

 それ以外なら

 y₁ = B / ( 1 + C )

 x = ± π R [(A² + l -y₁²)^1/2 - A ]   ←符号は(π - π₀)

                                             y = ± π R y₁  ←符号はφに同じ

[図 6-7-1-11]  Van der Grinten Ⅲ  図法 ( Van der Grinten Ⅲ Projection )

【地図主点(中心)】東経 135ﾟ､緯度 0ﾟ 【経度間隔】15ﾟ 【緯度間隔】10ﾟ

  6-7-1-12 Van der Grinten IV

         【 投影式 】もし  φ = 0

 x = R ( λ - λ₀)  ,  y = 0

 もし  ( λ - λ₀) = 0 または | φ | = π / 2,

 x = 0   ,  y = Rφ

 その他の場合

 B = | 2φ/π |

 C = (8B- B⁴- 2B² -5) / (2B³ -2B²)

 D = ±{ [ 2 ( λ - λ₀) / π + π / (2( λ - λ₀))]²- 4}^1/2

                         ↑符号は、 ( | λ - λ₀ | - π/2) に同じ

 F = (B + C)²(B² + C²D²- 1)+ (1- B²){B²[(B + 3C)²+ 4C²] +

  12BC³ + 4C⁴}

 x₁ = {D[(B + C)² + C²- 1] + 2F^1/2} / [4(B+ C)² + D²]

 x = ±π R x₁ / 2   ←符号は、( λ - λ₀) に同じ

 y = ± (πR/2)(1+D|x₁| - x₁²)^1/2  ←符号は、φに同じ

         【経度･緯度】経線：曲線　、緯線：曲線

        【 ポイント 】・外周は、∞のような形となる。

　　　　　　　　　   ・中心経度から±90°の経線は円弧となるため 半球並列の

 　　　　　　　　　　  　図が投影できます。

[図 6-7-1-12]  Van der Grinten Ⅳ  図法 ( Van der Grinten Ⅳ Projection )

【地図主点(中心)】東経 135ﾟ､緯度 0ﾟ 【経度間隔】15ﾟ 【緯度間隔】10ﾟ

[図 6-7-1-12]  Van der Grinten Ⅳ  図法　半球並列  ( Van der Grinten Ⅳ Projection )

【左半球主点(中心)】東経 135ﾟ､緯度 0ﾟ 　【右半球主点(中心)】西経 45ﾟ､緯度 0ﾟ

                       【経度間隔】15ﾟ 【緯度間隔】10ﾟ

  6-7-1-13 Eisenlohr

         【 投影式 】S₁ = sin [ ( λ - λ₀ )/2 ]

 C₁ = cos [ (λ - λ₀ )/2 ]

 T = sin (φ/2) / [ cos (φ/2) + ( 2 cosφ)^1/2C₁ ]

 C = [ 2 / ( 1+T²) ]^1/2

 V = { [ cos (φ/2) + ((cos φ)/2)^1/2(C₁+S₁) ] /

  [ cos (φ/2) + ((cosφ)/2)^1/2(C1-S₁) ] }^1/2

 x = ( 3 + 8^1/2) R [ - 2 ln V + C (V - 1/V) ]

 y = ( 3 + 8^1/2) R [ - 2 arctan T + C T (V + 1/V) ]

         【経度･緯度】経線：曲線　、緯線：曲線

         【 ポイント 】・外周は、∞のような形となる。

[図 6-7-1-13]  アイゼンロール図法（ Eisenlohr projection ）

【地図主点(中心)】東経 135ﾟ､緯度 0ﾟ 【経度間隔】15ﾟ 【緯度間隔】10ﾟ

  6-7-1-14 August Epicycloidal

        【 投影式 】C_l = [ 1 - tan²(φ/2) ]^1/2

C = 1 + C_l cos [ (λ – λ₀) / 2 ]

x₁ = sin [ (λ - λ₀)/2 ] C₁/C

 y₁ = tan ( φ/2) / C

 x = 4 R x₁ (3 + x₁² - 3y₁²) / 3

 y = 4 R y₁ (3 + 3x₁² - y₁²) / 3

         【経度･緯度】経線：曲線　、緯線：曲線

        【 ポイント 】・外周は、∞のような形となる。

[図 6-7-1-14]  August Epicycloidal Projection

【地図主点(中心)】東経 135ﾟ､緯度 0ﾟ 【経度間隔】15ﾟ 【緯度間隔】10ﾟ

  6-7-1-15 Ortelius Oval

        【 投影式 】F = [ (π/2)² / | λ - λ₀ | + | λ - λ₀ | ] / 2

もし  | λ - λ₀ | <= π / 2

 x = ± R [ | λ - λ₀ | - F + ( F² - y²/R²)^1/2]

                                                         ↑± の符号は ( λ - λ₀ ) を用いる

                                           y = Rφ

 もし  | λ - λ₀ | > π / 2

  x = ± R {[ (π/2)² - φ²]^1/2 + | λ - λ₀ | - π/2}

 ↑± の符号は ( λ - λ0 ) を用いる

                                            y = Rφ

         【経度･緯度】経線：曲線　、緯線：直線

         【 ポイント 】・極は点ではなく直線となります。

 　　　　　　　　　　 ・中心経度から±90°の経線は円弧となるため半球並列の

　　　　　　　　　　　 図が投影できます。

[図 6-7-1-15]  Ortelius Oval 図法 ( Ortelius Oval Projection )

【地図主点(中心)】東経 135ﾟ､緯度 0ﾟ 【経度間隔】15ﾟ 【緯度間隔】10ﾟ

                                              【備考】中心経度の±90ﾟで描画すると半球となる。

[図 6-7-1-15]  Ortelius Oval 図法 - 半球並列

                                  ( Ortelius Oval Projection,in Two Hemispheres )

【地図主点(中心)】左半球：東経 135ﾟ､緯度 0ﾟ 右半球：西経45ﾟ､緯度 0ﾟ

                                          【経度間隔】15ﾟ 【緯度間隔】10ﾟ

  6-7-1-16 Conformal World in an Ellipse 図法

        【 投影式 】もし ks = sin θ  and  kc = cos θ なら

                   K' = ∫₀ ^π/2 ( 1 - kc²sin²λ')^-1/2 dλ'

                                      θ = 23.8958° のとき K' = 2.34767

                                      u₁ = 2 (1- kc) cos φ

                   v₁ = (1 + kc) [ l + cos φ cos (λ - λ₀)]

                                      A = ks² [ 1 - cos φ cos (λ - λ₀) ]

                                      B = u₁ - v₁

                                      C = u1 + v1

                                      R₁ = A - (A²- 4kcBC)^1/2

                                      λ' = -arcsin [R₁ / (2Ckc)]

                                     φ'=arcsin ({ 1- [R₁ / (2B)]²}^1/2 / ks)

                                      u₂ = ∫₀ ^φ' (1 - ks²sin²φ' )^-1/2dφ'

                                      v₂ = K'- ∫₀ ^λ' ( l - kc²sin²λ' )^-1/2 dλ'

                                      u₃ = exp [πu₂ / (4K')]

                                      v₃ = πv₂ / (4K')

                                           x = ± R (u₃ + 1 / u₃)(sin v₃) / 2

                                           y = ± R (u₃ - l / u₃)(cos v₃) / 2

              【経度･緯度】経線：曲線　、緯線：曲線

              【 ポイント 】・全球を楕円形に投影したものです。緯線の間隔は低緯度において

 　                        細かくした方が、楕円形の横左右端の経線がスムーズに描けます。

                         ・投影式の中に積分が含まれていますが、シンプソンの公式を利用

                                 して簡易積分をして見ました。

                         ・簡易積分のせいか、補助線などでエラーなるポイントが発生しま

                           す。端っこの経線などで起こる可能性があります。

                           そのポイントは、経度か緯度を微調整してください。

                                 ＜例＞  緯度  135°　      ←エラー発生

                                         135.000003° ←エラー回避

                         さらに、簡易積分の影響か 経線の x と x 軸との隙間ができるので、

                         x の値を補正する必要があります。

　                         左右端の経線の緯度 ±90°の x 計算値と x 軸との

                           差が隙間の値となっています。

 【入力イメージ】

     x y を求めるための係数が多いので入力セルの配置などを画像にしました。