6-7-2  描画形状が□、◇、他

  6-7-2-1 Guyou

        【 投影式 】cos a = [cos φ sin (λ - λ₀) - sin φ] / 2^1/2

cos b = [cos φ sin (λ - λ₀) + sin φ] / 2^1/2

 sin m = ± (1 + cos a cos b - sin a sin b )^1/2

  ↑符号は ( λ - λ₀)

 sin n = ± (1 - cos a cos b - sin a sin b )^1/2

  ↑符号はφ

 x = R∫₀^m(1 - 0.5 sin²m)^-1/2dm

 y = R∫₀ⁿ(1 - 0.5 sin²n)^-1/2dn

 もし |φ| = π/2

    x = 0

    y = ± 1.841239209 R

                                                               ↑ 符号はφ､参考にした文献では 1.85407だが、

                                                                     簡易積分のせいか |φ| = π/2 → ±90°のポ

                               　イントだけ髭のように飛び出るるため補正

                                 した。 

                                  数値は、後述する 6-7-2-4-3 の算出値を

                                  用いた。

         【経度･緯度】  経線：曲線　、緯線：曲線

         【 ポイント 】・投影式の中に積分が含まれていますが、EXCELには標準

                        装備されていません。VBAなどで算出する方法もありま

                        すが、私は、シンプソンの公式を利用して簡易積分を

                        して見ました。

    ∫_a^bf(x)dx=[(b−a)/6]{f(a)+4 f [(a+b)/2]+f(b)}

                      ・簡易積分のせいか、補助線などでエラーなるポイントが

                                                     発生します。端っこの経線などで起こる可能性がありま

   した。そのポイントは、経度か緯度を微調整してくだ

   さい。

                                                       ＜例＞

        経度　　緯度

                                                              45°    58°　         ←エラー発生

                                                              45°　58.000001°←エラー回避

                       ・描画は半球が四角形で投影されます。ここでは、並列の

      描画例を記載しました。

                                             ・補助線の端経線の緯度に緯度±45°の点が該当すると思

 　　　　　　　　　　   ったのですが、これも簡易積分のせいか右上隅だけの

       y が、やや小さい数値となります。

      そこで、端経線を四角にするためには、45°と46°の間に

       特別な緯度を挿入します。下記は、中心経度が 135°の

       場合の例です。

   経度　 緯度　　　　経度　　緯度

   -135°　46°       　  -135°　46°

   -135°　45°   →→　-135°　45.00006°

   -135°　44°       　  -135°　45°

                       　        -135°　44°

    勿論、並列や縦列にしない場合は、見た目上は、判別でき

    ない程の差てすので、挿入しなくてもよいでしょう。

[図 6-7-2-1]  Guyou 図法 ( Guyou Projection )

                           【地図主点(中心)】東経 135ﾟ､緯度 0ﾟ 【経度間隔】15ﾟ 【緯度間隔】10ﾟ

【備考】投影式の積分は、シンプソンの公式を利用した簡易積分を実施

[図 6-7-2-1]  Guyou 図法 - 四角並列 ( Guyou Projection )

                      【地図主点(中心)】左：東経 135ﾟ､緯度 0ﾟ  右：西経 45ﾟ､緯度 0ﾟ

                      【経度間隔】15ﾟ 【緯度間隔】10ﾟ

                                     【備考】投影式の積分は、シンプソンの公式を利用した簡易積分を実施

[図 6-7-2-1]  Guyou 図法 - 四角縦列 ( Guyou Projection )

                            【地図主点(中心)】東経 135ﾟ､緯度 90ﾟ  

                            【経度間隔】15ﾟ 【緯度間隔】10ﾟ

                                     【備考】投影式の積分は、シンプソンの公式を利用した簡易積分を実施

  6-7-2-2 Armadillo

        【 投影式 】x = R (1 + cosφ) sin [(λ - λ₀)/2]

                   y = R { (1 + sin φ₀ - cos φ₀)/2 + sin φ cos φ₀ –

       (1 + cosφ) sin φ₀ cos[(λ- λ₀₎/2)]}

                        φ_S = - arctan {cos[(λ - λ₀)/2] / tan φ₀}   ←描画境界値

         【経度･緯度】  経線：曲線　、緯線：曲線

        【 ポイント 】・φ₀を変えると視点が変化します。

[図 6-7-2-2]  アルマジロ図法 ( Armadillo  projection )

【地図主点(中心)経度】東経 135ﾟ 【傾斜角】20ﾟ 【経度間隔】15ﾟ 【緯度間隔】10ﾟ

  6-7-2-3 HEALPix Projection

        【 投影式 】中央部

　　　　　　　　　　   x = λ

　　　　　　　　　　   y = ( 3π / 2H ) sinφ

　　　　　　　　　　極地域

　　　　　　　　　　 σ = ( 3 ( 1 - | sinφ| ) )^1/2

　　　　　　　　　   λc = - π + ( 2 ( ( λ+π ) H ) / 2π ) + 1 ) π / H  ⇒ λ+π/H

　　　　　　　　　　   x = λc + ( λ - λc ) σ

                                               y = ± ( π / H ) ( 2 - σ )  ←符号は φ

        【経度･緯度】  経線：直線　、緯線：直線

        【 ポイント 】K = 3 , H = 4 で描画するものとして説明します。

・北緯41.8103ﾟ～ 南緯41.8103ﾟ, 西経180ﾟ～北緯180ﾟの

                      範囲は中央部として描画し、形状は四角です(ブロック

                      イメージ図の⑤)。

    　　　　　　　　  ・北緯41.8103ﾟ以北と南緯41.8103ﾟ以南の範囲は、三角形の

                      形状として描画されます。北半球と南半球を各々４つに

                                              分けておきます(ブロックイメージ図の①-N～④-N ,

　　　　　　　　　　　 ①-S～④-S)。

          ブロックのイメージ図

[図 6-7-2-3]  HEALPix 図法 ( HEALPix Projection )

【地図主点(中心)】東経 0ﾟ､緯度 0ﾟ 【経度間隔】15ﾟ 【緯度間隔】10ﾟ

　　　　                                    【パラメータ】H = 4 , K = 3

  6-7-2-4 Adams Hemisphere in a Square

         【 投影式 】cos a = cos φ sin (λ - λ₀)

                                       b = π / 2 - φ

                                                   sin m = ±(1 + cos a cos b - sin a sin b )^1/2

                                                                    ↑符号は (sinφ+ cos α)

                                                   sin n = ±(1 - cos a cos b - sin a sin b )^1/2

                                                                   ↑符号は (sinφ- cos α)

                                                          x = R ∫₀^m (1 - 0.5 sin²m)^-1/2dm

                                                          y = R ∫₀ⁿ (1 - 0.5 sin²n)^-1/2dn

                                                  もし |φ| = π / 2 ,

                                                         x & y = ± 1.841239209 R

                                                                        ↑ 符号はφ､参考にした文献では

                                                                               1.85407だが、簡易積分のせいか

                              並列連結時、隙間ができるためため

                               補正した。数値は、実際の描画端の

                               経度緯度を算出してこの値に決めた。

         【経度･緯度】  経線：曲線　、緯線：曲線

         【 ポイント 】・中心経度±90°の正方形となるが、中心経度が45°傾い

 　　　　　　　　　　　 ている。ここでは、半球描画を並列にしたものと45°回転

 　　　　　　　　　　　 させたひし形を並列にしたものを描画してみる。

                                         ・積分はシンプソンの公式を利用した簡易積分を行った。

                      ・データは、左半球と右半球に分けておきます。

                      ・投影式の中に積分が含まれていますが、シンプソンの公式を

                        利用して簡易積分をして見ました。

                      ・簡易積分のせいか、補助線などでエラーなるポイントが発生

                                                    します。端っこの経線などで起こる可能性がありました。

   そのポイントは、経度か緯度を微調整してください。

                                                    ＜例＞

   緯度

                                                         16°　         ←エラー発生

                                                         16.000001°←エラー回避

  ①四角並列 ( □+□ )  ← □ は描画形状四角をイメージしています

       右半球の □ は、投影式で算出後 x の符号を反転させ、□ の幅を加算して用いる。

[図 6-7-2-4]  Adams Hemisphere in a Square 図法

                                       ( Adams Hemisphere in a Square Projection )

                          【地図主点(中心)】東経 135ﾟ､緯度 0ﾟ 

                          【経度間隔】15ﾟ 【緯度間隔】10ﾟ

                                   【備考】投影式の積分は、シンプソンの公式を利用した簡易積分を実施

[図 6-7-2-4]  Adams Hemisphere in a Square 図法 - 四角並列

                                       ( Adams Hemisphere in a Square Projection )

                     【地図主点(中心)】左：東経 135ﾟ､緯度 0ﾟ  右：西経 45ﾟ､緯度 0ﾟ

                     【経度間隔】15ﾟ 【緯度間隔】10ﾟ

                                   【備考】投影式の積分は、シンプソンの公式を利用した簡易積分を実施

② ひし形並列 ( ◇+◇ )  ← ◇ は描画形状ひし形をイメージしていま四角(□)を45°

  回転させることにより正立させ、ひし形(◇)にし投影する

     (1)  標準投影式で x と y を算出する。

     (2)  中心から ( x, y ) までの距離を求める。

     (3) ( x , y ) への角度を求め、その値に45°(π/4)を加えたθを求める。

    (4) さらに (2),(3) に対応する x r と y r を求める。

    (5)  右のひし形用は x r は、符号を反転させ、右にシフトさせ

                  x r右 として算出

[図 6-7-2-4]  Adams Hemisphere in a Square 図法 – ひし形

                                             ( Adams Hemisphere in a Square Projection )

             【地図主点(中心)】東経 135ﾟ､緯度 0ﾟ  

             【経度間隔】15ﾟ 【緯度間隔】10ﾟ

             【備考】・投影式の積分は、シンプソンの公式を利用した簡易積分を実施。

                      ・投影式より描画すると斜め45°傾くため、計算式を作成し、正立させた。

[図 6-7-2-4]  Adams Hemisphere in a Square 図法 – ひし形並列

                                             ( Adams Hemisphere in a Square Projection )

              【地図主点(中心)】左：東経 135ﾟ､緯度 0ﾟ  右：西経 45ﾟ､緯度 0ﾟ

              【経度間隔】15ﾟ 【緯度間隔】10ﾟ

              【備考】・投影式の積分は、シンプソンの公式を利用した簡易積分を実施。

                      ・投影式より描画すると斜め45°傾くため、計算式を作成し、正立させた。

  6-7-2-5 Peirce Quincuncial

        【 投影式 】cos a = cos φ [sin (λ - λ₀) + cos (λ - λ₀)] / 2^1/2

                                    cos b = cos φ [sin (λ - λ₀) - cos (λ - λ₀)] / 2^1/2

                                     sin m = ± (1 + cos a cos b - sin a sin b )^1/2

                                                ↑符号は sin( λ - λ₀)

                                     sin n = ± (1 - cos a cos b - sin a sin b )^1/2

                                                ↑ 符号は cos( λ - λ₀) の逆

 　　　　　　　　　　　x = R ∫₀^m (1 - 0.5 sin²m)^-1/2dm

 　　　　　　　　　　　y = R ∫₀ⁿ (1 - 0.5 sin²n)^-1/2dn

 　　　　　　　　　もし  |φ| = π/2 , x = 0 , y = ±1.841239209 R  ←符号はφ

         【経度･緯度】  経線：曲線　、緯線：曲線

        【 ポイント 】・極を中心とした半球を四角形で投影。残りの半球部分をまわりに

  　 　　　　　　　　　　配置することにより、全球を正方形に収めることができる。

  　  　　　　　　　　　その正方形をタイルのように敷き詰めることができる。

                      ・投影式の中に積分が含まれていますが、シンプソンの公式を利用

  して簡易積分をして見ました。           

・簡易積分のせいか、補助線などでエラーなるポイントが発生します。

                         端っこの緯線などで起こる可能性がありました。そのポイントは、

  　　　　　　　　　　　  経度か緯度を微調整してください。

                              ＜例＞ 

                                                        緯度   62°      ←エラー発生

                                       62000001°←エラー回避

　6-7-2-5-①半球を正方形に描画し、縦列に配置して描画する。

[図 6-7-2-5-①-1]  Peirce Quincuncial 図法 ( Peirce Quincuncial Projection )

                     【地図主点(中心)】東経 135ﾟ､北緯 90ﾟ 

                     【経度間隔】15ﾟ 【緯度間隔】10ﾟ

                            【備考】投影式の積分は、シンプソンの公式を利用した簡易積分を実施

[図 6-7-2-5-①-2]  Peirce Quincuncial 図法 - 四角縦列 ( Peirce Quincuncial Projection )

                     【地図主点(中心)】北半球：東経 135ﾟ､北緯 90ﾟ 南半球：西経 45ﾟ､南緯 90ﾟ

                     【経度間隔】15ﾟ 【緯度間隔】10ﾟ

                            【備考】投影式の積分は、シンプソンの公式を利用した簡易積分を実施

　6-7-2-5-②平面充填用のタイル(四角形)を描画する。

     　正方形に全球を詰め込む。

　  6-7-2-5-②-1 半球縦列を加工して全球にするタイルを作る

　　　　　　前述半球縦列を180°回転させ、元のものと回転したものを合体させ、平面充填用の

　　　　　　タイルを描画する。出来上がる正方形の緯度０°(赤道)は外周と並行で □形 となる。

＜基準経度・標準緯度・予備計算・共通数値 など＞

＜データ計算 など＞  経度緯度のデータ毎に記述式を複写(行コピー)する。

    [図 6-7-2-5-②-1]  Peirce Quincuncial 図法 ( Peirce Quincuncial Projection )   赤道□

                  【地図主点(中心)】東経 180ﾟ､緯度 0ﾟ 【経度間隔】15ﾟ 【緯度間隔】10ﾟ

                   【備考】・投影式の積分は、シンプソンの公式を利用した簡易積分を実施。

    　　　                　・平面充填用のタイル(正方形)として用いる。

 　この平面充填タイルをシフトして上下左右に並べると

 　  6-7-2-5-②-2 半球縦列を加工して全球にし45°傾けたタイルを作る。

 　　　　　 6-7-2-5-②-1 では、赤道が平面充填タイルの外周と並行になり単調に見える。そこで

             45°傾けた平面充填タイルを検討して見る。回転させた部分は、ある範囲を繰り返し

 　　　　　 利用するので、利用範囲に色を付けて説明。

  　　■回転前　　 [図 6-7-2-5-②-1]

 　　■45°回転（右回り）

 　　■平面充填タイル概要

         【 ポイント 】・ 部分シフトを想定して、元のデータを南北半球毎に２つに分けておきます。

 　　　　　　　　　　　<例> 中心経度が 東経135°の場合

 　　　　　　　　　　　　　　(1)    0°～ 180°

 　　　　　　　　　　　　　　(2) -180°～   0°

                              ※以下の表＜データ計算 など＞の経度範囲は、この例にフィット

 　　　　　　　　　　　　　　　　(1)北半球 =    0°～ 180°

                                 (2)北半球 = -180°～   0°

 　　　　　　　　　　　　　　　　(1)南半球 =    0°～ 180°

                                 (2)南半球 = -180°～   0°

＜基準経度・標準緯度・予備計算・共通数値 など＞

＜データ計算 など＞  経度緯度のデータ毎に記述式を複写(行コピー)する。

    [図 6-7-2-5-②-2]  Peirce Quincuncial 図法 ( Peirce Quincuncial Projection )   赤道◇

                 【地図主点(中心)】東経 180ﾟ､緯度 0ﾟ 【経度間隔】15ﾟ 【緯度間隔】10ﾟ

                 【備考】・投影式の積分は、シンプソンの公式を利用した簡易積分を実施。

 　　　                　・平面充填用のタイル(正方形)として用いる。

 　　　　                ・赤道は、タイル外周に対しひし形（◇）。

 　　　　                ・南北回帰線、南北極圏、日付変更線は省略した。

 　この平面充填タイルをシフトして上下左右に並べると

  6-7-2-6 Adams World in a Square I

        【 投影式 】sin φ' = tan (φ/2)

                                       cos a = {cos φ' sin [(λ - λ₀)/2] - sin φ'} / 2^1/2

                                       cos b = {cos φ' sin [(λ - λ₀)/2] + sin φ'} / 2^1/2

                                       sin m = ± (1 + cos a cos b - sin a sin b )^1/2 

                                                  ↑符号は ( λ - λ₀)

                                       sin n = ± (1 - cos a cos b - sin a sin b )^1/2

                                                 ↑符号は φ

                                              x = R ∫₀^m(1 - 0.5 sin²m)^-1/2dm

                                              y = R ∫₀ⁿ(1 - 0.5 sin²n)^-1/2dn

                     もし  |φ| = π/2

                                               x = 0 

                                               y = ± 1.841239209 R  ←符号はφ

         【経度･緯度】  経線：曲線　、緯線：曲線

         【 ポイント 】・投影式の中に積分が含まれていますが、シンプソンの

                         公式を利用して簡易積分をして見ました。

                      ・簡易積分のせいか、補助線などでエラーなるポイント

                                                   が発生します。端っこの経線などで起こる可能性があ

  りました。そのポイントは、経度か緯度を微調整して

  ください。

                                                  ＜例＞

    緯度

                                                          66°  　    ←エラー発生

                                                          66.000001°←エラー回避

                      ・描画四角形の四隅が直角にならない場合は、補助線の間

                        に四隅になる点を追加します。

                                                       ＜例＞地図中心が東経135°緯度0度の例です。

 　　　　　                     描画してみて四隅がだれてしまう箇所が

 　　　　　　　　　　　　　 　　緯度±70°～72°にあるので、そこに

 　　　　　　　　　　　　　　 　一行挿入して計算値の列だけに  x , y

  を追加します。

                                                ＜四隅の挿入数値＞

                                                                                  x                      y

　　　　　　　　　　　　　左上隅  -1.841239209     1.841239209

　　　　　　　　　　　　　左下隅  -1.841239209    -1.841239209

　　　　　　　　　　　　　右上隅  +1.841239209     1.841239209

　　　　　　　　　　　　　左上隅  +1.841239209    -1.841239209

[図 6-7-2-6]  Adams World in a Square I 図法  ( Adams World in a Square I Projection )

【地図主点(中心)】東経 135ﾟ､緯度 0ﾟ  【経度間隔】15ﾟ 【緯度間隔】10ﾟ

【備考】投影式の積分は、シンプソンの公式を利用した簡易積分を実施

  6-7-2-7 Adams World in a Square Ⅱ

        【 投影式 】cos a = cos φ' sin [(λ - λ₀)/2]

                                     cos b = sin φ'

                                     sin φ' = tan (φ/2)

                                     sin m = ± (1 + cos a cos b - sin a sin b )^1/2

                                                  ↑符号は (sinφ'+cos α)

                                     sin n = ± (1 - cos a cos b - sin a sin b )^1/2

                        ↑符号は (sinφ'-cos α)

                                             x = R ∫₀^m(1 - 0.5 sin²m)^-1/2dm

                                             y = R ∫₀ⁿ(1 - 0.5 sin²n)^-1/2dn

                    もし |φ| = π/2

                                              x & y = ± 1.841239209 R  ←符号はφ

          【経度･緯度】  経線：曲線　、緯線：曲線

          【 ポイント 】・全球投影の正方形となるが、中心経度が45°傾いている。

  　　　　　　　　　  　 ここでは、全球描画をしたものと45°回転させたひし形

 　　　　　   　　　　　 にしたものを描画してみる。

                        ・投影式の中に積分が含まれていますが、シンプソンの公式

                         を利用して簡易積分をして見ました。

                      ・簡易積分のせいか、補助線などでエラーなるポイントが

                                                   発生します。端っこの経線などで起こる可能性がありまし

 た。そのポイントは、経度か緯度を微調整してください。

                                                   ＜例＞

     緯度

                                                          56°　      ←エラー発生